Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, dapat digunakan sifat berikut ini:

Bentuk 1

(a). Jika │f(x)│ < a maka –a < f(x) < a

(b). Jika │f(x)│ > a maka f(x) < –a atau f(x) > a

Bentuk 2

(a). Jika │f(x)│ < g(x) maka f²(x) < g²(x). Syaratnya g(x) > 0

(b). Jika │f(x)│ > g(x) maka f²(x) > g²(x). Syaratnya g(x) > 0

Bentuk 3

(a). Jika │f(x)│ < │g(x)│ maka f²(x) < g²(x).

(b). Jika │f(x)│ > │g(x)│ maka f²(x) > g²(x).

Untuk lebih memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan contoh berikut :

01. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │2x + 3│ < 5

Jawab

│2x + 3│ < 5

–5 < 2x + 3 < 5

–5 – 3 < 2x + 3 – 3 < 5 – 3

–8 < 2x < 2

–4 < x < 1

02. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │2 – 3x│ < 8

Jawab

│2 – 3x│ < 8

–8 < 2 – 3x < 8

–8 – 2 < 2 – 3x – 2 < 8 – 2

–10 < –3x < 6

10/3 > x > –2

–2 < x < 10/3

03. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │2x + 6│ > 4

Jawab

│2x + 6│ > 4

2x + 6 < –4 atau 2x + 6 > 4

2x < –4 – 6 atau 2x > 4 – 6

2x < –10 atau 2x > –2

x < –5 atau x > –1

04. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │5 – 3x│ > 4

Jawab

│5 – 3x│ > 4

5 – 3x < –4 atau 5 – 3x > 4

–3x < –4 – 5 atau –3x > 4 – 5

–3x < –10 atau –3x > –1

x > 10/3 atau x < 1/3

x < 1/3 atau x > 10/3

05. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │3x – 2│ < 2x + 7

Jawab

│3x – 2│ < 2x + 7

(3x – 2)² < (2x + 7)²

9x² – 12x + 4 < 4x² + 28x + 49

9x² – 12x + 4 – 4x² – 28x – 49 < 0

5x² – 40x – 45 < 0

x² – 8x – 9 < 0

(x – 9)(x + 1) < 0

x = 9 dan x = –1 sehingga : –1 < x < 9 .................. (1)

Syarat : 2x + 7 > 0

2x > –7

x > –7/2 .................................................................. (2)

dari (1) dan (2) diperoleh interval : –1 < x < 9

06. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │2x – 9│ < 4x – 3

Jawab

│2x – 9│ < 4x – 3

(2x – 9)² < (4x – 3)²

4x² – 36x + 81 < 16x² – 24x + 9

4x² – 36x + 81 – 16x² + 24x – 9 < 0

–12x² – 12x + 72 < 0

x² + x – 6 > 0

(x – 2)(x + 3) > 0

x = 2 dan x = –3 sehingga : x < –3 atau x > 2 ............... (1)

Syarat : 4x – 3 > 0

4x > 3

x > 3/4 ............................................................................ (2)

dari (1) dan (2) diperoleh interval : x > 2

07. Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi │x + 4│ ≥ │3x – 8│

Jawab

│x + 4│ ≥ │3x – 8│

(x + 4)² ≥ (3x – 8)²

x² + 8x + 16 ≥ 9x² – 48x + 64

x² + 8x + 16 – 9x² + 48x – 64 ≥ 0

–8x² + 56x – 48 ≥ 0

x² – 7x + 6 ≤ 0

(x – 6)(x – 1) ≤ 0

x = 6 dan x = 1 sehingga : 1 ≤ x ≤ 6